Page 49 - bilgem-teknoloji-dergisi-7
P. 49
C. Nezih GEÇKİNLİ Olasılık Kuramına Bir Giriş - II: Uygulamalar
Gerçekten de, bir O olayının gerçekleşmesi koşulu altında, yolcular K ile gösterilsin. Bir yolcunun uçağa, uçağı
aynı O olayının gerçekleşme olasılığı 1’dir, kaçırmak için binme olasılığı p olsun: P ( ) = p ,
K
Olasılık Kuramına Bir Giriş - II: Uygulamalar P O O ( P O ∩ O ) = P O = 1 ; (3) P ( ) 1 p . Bu durumda, uçağın k yolcu tarafından
=
Y
−
( )
( | ) =
P O P O kaçırılması olayındaki öğeler (yolcu yapıları), öğelerin sayısı
( )
( )
ve öğelerin olasılıkları
C. Nezih GEÇKİNLİ yani, bir olay gerçekleştiğinde o olay kaçınılmaz olay n
−
olmaktadır. Dolayısıyla, gerçekleşmiş bir olayın olasılığını k = 0 : {YY Y } → = 1 (1 p ) n
0
hesaplamaya kalkışmak gülünç olmaktadır.
,
,
Özet - Temel özellikleri bir önceki sayımızda tanıtılan olasılık kuramında S = {EK KE KK } , Diğer yandan, çoğunlukla, hiç beklenmedik ya da çok KYY , Y
sıkça düşülen yanılgılar tatışmaya açılarak, geçen yazıda verilen 1 (2) k = 1: YKYY , Y → n = n p (1 p ) n− 1
−
)
)
)
kavramların pekiştirilmesi amaçlanmaktadır. ( P EK = ( P KE = ( P KK = ender görülen bir olay gerçekleştikten sonra akla gelen, “Bu
1
3 olayın gerçekleşme olasılığı, acaba nedir?” sorusu, aslında,
Anahtar Sözcükler - Olasılık kuramı. YY YK
O zaman gördüm ki, bu örnek uzayında, “diğer çocuğun “Bu olayın gerçekleşme olasılığı, olay gerçekleşmeden önce,
1 GİRİŞ kız olması” ( KK ) olasılığı 1 3 iken, “diğer çocuğun erkek acaba ne idi?” olduğu için, öncelikle, kendisi örnek uzayı, KKYY , Y
}
,
olması” ({EK KE ) olasılığı 2 3 ’tür. Böylece, diğer çocuğun olasılığı 1 olan gerçekleşmiş olayın, olay gerçekleşmeden KYKYY , Y n n (n − 1)
−
Bu yazı, dergimizin bir önceki sayısında yayımlanan, erkek olduğunu anladım. önce bulunduğu örnek uzayına karar vermek gerekir. k = 2 : → = p 2 (1 p ) n− 2
2
“Olasılık Kuramına Bir Giriş - I: Temel Kavramlar” [1] adlı 2
yazının devamıdır ve sıkça düşülen yanılgıları vurgulayan “Çift zar atıldığında, üç biçimde oluşan Örneğin, ilk iki çocuklarının doğum tarihleri 08.08.08 ve YY YKK
=
+
+
+
örneklerle, ilk yazıda verilen kavramların pekiştirilmesini 7 1 6 = 2 5 = 3 4 ile, yine üç biçimde oluşan 09.09.09 olan Amerikalı bir ailenin, 10.10.10 tarihinde (4)
=
+
+
+
amaçlamaktadır. 6 1 5 = 2 4 = 3 3 aynı olasılıkla gelir.” çıkarımındaki üçüncü çocukları olunca, ender görülebilecek bu olayı haber } n n
yanılgı da yukarıda verilene benzemektedir: Çift zar atışı iki yapmak isteyen bir gazeteci, olayın gerçekleşme olasılığını, k = n : {KK K → = 1 p
n
Olasılık kuramında, ilgi alanının, bilinmeyen olasılıkların bağımsız kaynağın bileşkesi olarak modellendiğinde, bir istatistik profesörüne sorduğunda, “Olasılık varsayımlara
bilinen (varsayılan) olasılıklardan bulunması olduğu bileşkenin örnek uzayındaki 6 6× = 36 öğenin altı tanesinin bağlıdır: Bir varsayıma göre elli milyonda bir, daha gerçekçi olur. Burada, ikiterimli (binom) katsayısı
söylenebilir [2]. Ancak, olasılık hesaplanırken, doğruluğu (1 6+ , 2 5+ , 3 4+ , 4 3+ , 5 2+ , 6 1+ ) 7 değerine, beş bir varsayıma göre iki bin beş yüzde birdir.” yanıtını alır [4]. n
apaçık gibi görünen kimi akıl yürütmeler, insanı kolayca tanesinin (1 5+ , 2 4+ , 3 3+ , 4 2+ , 5 1+ ) 6 değerine sahip Profesörün, “varsayım” ile demek istediği, örnek uzayıdır. = ! n , (5)
k
−
yanlış sonuçlara ulaştırabilmektedir. Her ne kadar yanlış olduğu görülür. Dolayısıyla, 7 ’nin gelme olasılığı 6 36 1 6= Örnek uzayı, yeryüzündeki tüm aileler olabileceği gibi, 2008, k ! (n k )!
şeyler yazmak doğru olmasa da, bu yazıda verilen iken, 6 ’nın gelme olasılığı 5 36 ’dır. 2009 ve 2010 yıllarında doğmuş üç çocuğu olan ABD’li n öğeli bir kümenin k öğeli alt küme sayısını vermektedir
uygulamalarda, düşülmesi olası yanılgılara da yer aileler de olabilir. Ancak, örnek uzayı ne seçilirse seçilsin, ilk [6] (sf. 59). Böylece, n yolcusu olan bir uçağın bir yolcu
verilmektedir. Dolayısıyla, okuyucu verilen örnekleri Örnek-2: Diyelim ki, piyango bileti satıcısının uzattığı çocuğun doğum tarihi, örnek uzayını yapılandıran bir tarafından kaçırılmasının olasılığı,
incelerken, yanlış düşünme yollarıyla doğrularını ayırt biletler arasından rasgele birini çektik. Bilet numaraları, bir değişken olamaz; çünkü, üç çocuktan birincisiyle ikincisi n− 1
−
etmeğe özen göstermelidir. ile yüz bin arasında olsun. Çektiğimiz biletin numarasının, arasında 365 31 1 397 gün, ikincisiyle üçüncüsü P ({KYY , Y YKYY Y , ..., YY YK }) = np (1 p ) , (6)
+
+
=
örneğin, 037143 olma olasılığı yüz binde birdir. Çektiğimiz arasında 365 30 1 396+ + = gün aralık olma olasılığı, ilk iki yolcu tarafından kaçırılmasının olasılığı,
2 UYGULAMALAR biletin numarasının, örneğin, 078521 olduğunu görmüş çocuğun doğum tarihine bağlı değildir ve nasıl ki, bir
olalım. Bu durumda, çektiğimiz biletin numarasının 078521 P ({KKYY , Y KYKYY Y , ..., YY YKK })
Örnek-1: Geçen gün, uzun yıllardır görüşemediğim bir olma olasılığı 1’dir. Aynı nedenle, piyangonun çekilişi piyangoda, ikramiye çıkma olasılığı, 080808 gibi akılda ( n n − 1) (7)
−
çocukluk arkadaşımla karşılaştım. Arkadaşımın iki çocuğu yapıldığında, bir tek bilete verilecek en büyük ikramiyenin kolay kalan numaralar dahil, her numara için aynı ise [5], ilk = 2 p 2 (1 p ) n− 2
olduğunu öğrenince, çocuklarının cinsiyetlerini sordum. elimizdeki bilete çıkma olasılığı yüz binde bir iken, çekilişte, çocuğun doğum gününün 08.08.08, dolayısıyla, diğer
Arkadaşım, “Biri kız; diğeri, olasılığı iki kat büyük olan ikramiye elimizdeki bilete çıkarsa, en büyük ikramiyenin çocukların doğum günlerinin 09.09.09 ve 10.10.10 gibi olarak bulunur. Dolayısıyla, şu doğru sonuçlara ulaşılır:
cinsiyete sahip.” dedi. Ben, “Erkek olma olasılığı kız olma elimizdeki bilete çıkma olasılığı 1’e yükselir. Bir başka akılda kolay kalan ender tarihler olması, olayın olasılığını • Bir uçağın bir yolcu tarafından kaçırılma olasılığı
olasılığına çok yakındır. Nasıl olur da biri diğerinin iki katı deyişle, en büyük ikramiye biletimize çıktığında, olasılığı çok değiştirmez. n p (1 p ) n− 1 , yolcu sayısı n ’ye bağlıdır ve bir yolcunun
−
olabilir?” diye karşı çıktım. Arkadaşım, “Dikkatlice küçük bir olay gerçekleştiği için şanslı olduğumuzu Örnek-3: Bindiği uçağın kaçırılmasından korkan bir uçağa, uçağı kaçırmak için binme olasılığı p ile aynı
düşünürsen bulabilirsin!” dedi ve ayrıldı. Ben de, bu söyleyebiliriz, ancak, o bilete o ikramiyenin çıkma olasılığı yolcu, şöyle bir çözüm bulur: “Bir yolcunun uçağa, uçağı değildir.
bilmeceyi çözebilmek için, erkeği E, kızı K ile göstererek, iki artık 1, diğer biletlere çıkma olasılığı 0 ’dır. kaçırmak için binme olasılığı yüz milyonda birse, birbirinden
bağımsız kaynağın (birinci doğum ile ikinci doğumun) habersiz iki yolcunun birden aynı amaçla uçağa binme • Bir uçağın iki yolcu tarafından kaçırılma olasılığı
−
bileşkesinden oluşan kaynağın örnek uzayını ve bu uzaydaki Nobel ödüllü ünlü fizikçi Feynman, kendi konularını olasılığı, bunun karesi, on katrilyonda birdir. Dolayısıyla, ( n n − 1) p 2 (1 p ) n− 2 2, bir uçağın bir yolcu tarafından
n−
1
−
öğelerin olasılıklarını belirledim: sıradan insanlara anlatmak için yaptığı konuşmalarından uçağa, yanıma bomba alarak binersem, uçağın kaçırılma kaçırılma olasılığı n p (1 p ) ’in karesiyle aynı değildir.
birinde, kendisinden, olmuş olayların olasılığını, örneğin,
,
,
,
S = {EE EK KE KK } , bir deney sonucu elde edilen değerin gerçekleşme olasılığını olasılığını on katrilyonda bire düşürmüş olurum.” • Uçağın kaçırılmasından korktuğu için yanına bomba alan
1 (1) yolcu, uçağı ister düşsel olarak ister gerçekten kaçıracak
)
)
)
( P EE = ( P EK = ( P KE = ( P KK = hesaplamasının istenmesinden yakınmakta, “… bir şey Bu düşüncede temel yanlışlar vardır. olsun, kendisinin uçağa, uçağı kaçırmak için binme
)
4
olduktan sonra, onun olma olasılığını … hesaplamanın Uçaktaki n yolcu koltuğu, birbirinden bağımsız olasılığı p yerine 1 (etkisiz öğe) olacağı için, n yolcusu
Sonra, çocuklardan birinin kız olması koşulunu sağlayan mantık götürür bir yanı (yoktur.). … Örneğin, bu akşam çok n kaynak; bu kaynakların bileşkesi de, uçaktaki yolcu olan uçağın, biri kendisi iki yolcu tarafından
alt örnek uzayını ve bu yeni uzaydaki öğelerin olasılıklarını dikkate değer bir deneyim yaşadım. Buraya gelirken yapısını veren kaynak olarak düşünülsün. Bir başka deyişle, kaçırılmasının olasılığı, n − yolcusu olan bir uçağın bir
1
elde ettim: ANZ 912 numaralı bir plaka gördüm. Bana ... tüm plakalar bu kaynağın her çıktısı, n yolcusu olan ayrı bir uçağın yolcu yolcu tarafından kaçırılma olasılığı (n − 1) (1 p ) n− 2 ’ye
−
p
arasında ANZ 912 plakasını görme olasılığımı hesaplar yapısını versin. Normal yolcular Y , uçağı kaçırmak isteyen eşit olacaktır.
mısınız? Pekâla, bu çok gülünç bir şey.” demektedir [3].
94 Sayı 07 · Eylül-Aralık 2011 http://www.bilgem.tubitak.gov.tr/ 95
