Page 52 - bilgem-teknoloji-dergisi-7
P. 52
C. Nezih GEÇKİNLİ Olasılık Kuramına Bir Giriş - II: Uygulamalar
araba olan iki kapıdan birini rasgele seçtiği için, arabayı DDYY , olur.) 4°) Ne kadar çok kişiyle tanışırsak tanışalım, doğru eşi
kazanma şansı 1 2 olacaktı [6]. DYDY , bulamayabiliriz.
Yukarıda sözünü ettiğimiz erkek, 16’ncı kızla tanışıyor
2
4
3
1
Örnek-8: “Doğru eşi bulabilmek için kaç kişiyle tanışmak k = 2 : DYYD , → = 6 2 = 9 olsun. Tanıştığı bu kızın doğru kız olma olasılığının, bundan 5°) Bulduğumuz eş doğru eş olmasa da, doğru eşi
2
4
yeterli olur?” sorusu, şu olasılık modeli kullanılarak YDDY , 4 256 önce tanıştığı 15 kızdan kaçının doğru eş olduğuna bağlı bulduğumuzu sanırız.
yanıtlanabilir: YDYD , olmaksızın 1 4 = 0,25 = %25 olduğu açıktır. Ne var ki,
insanlar, çoğu zaman, ilk 15 kızdan hiçbirinin doğru eş Örnek-9: Belirli sayıda erkekle belirli sayıda kızın
1°) Evlenme çağına gelmiş her erkek ya da kız, karşı cinsten YYDD olmadığı bilindiğinde, 16’ncı kızın doğru eş olma tanışarak eşleşmesindeki olasılıkların kuramsal olarak
rasgele tanıştığı her n kişinin m tanesinden, evlenmek DDDY , olasılığının, daha yüksek bir değere sahip olacağını düşünür. hesaplanabilmesi, birden çok doğru eş bulan kişilerin
3
4
3
1
isteyecek kadar - yani, karşılaştığı kişiden p = m / n k = 3: DDYD , → = 4 1 = 3 (24) Bu düşüncedeki yanlış, gerçekleştiği bilinen bir olayın boştaki bir doğru eşi seçmek zorunda olmalarının yarattığı
3
4
olasılıkla - hoşlanıyor olsun. DYDD , 4 256 etkileşimleri hesaba katan bir model gerektirir. Dolayısıyla,
YDDD gerçekleşme olasılığının 1 olduğu gerçeğinin (Örnek-2) göz önceki örnekte kararlaştırılan eşleme modeli, olasılıkların
2°) Tanışılan birisinden, evlenmek isteyecek kadar çok ardı edilmesidir: Doğru eş olmadığını bildiğimiz ilk 15 hesaplanmasında güçlük yaratabilir. Bu güçlük, kolay bir
4
4
3
1
hoşlanıp hoşlanmamak, karşıdaki kişinin duygularından k = 4 : {DDDD } → = 1 0 = 1 tanışmanın her biri, ayrı ayrı, 1 olasılıkla, doğru eş olamaz. model seçilerek aşılabilirse de, aşağıda verildiği gibi, bir
4
4
bağımsız olsun. Yani, iki kişinin birbirinden, evlenmek 4 256 Dolayısıyla, ilk 16 tanışmanın hiçbirinin doğru eş olmama benzetim programıyla, gerçekçi bir eşleme yöntemine göre,
1
2
2
isteyecek kadar çok hoşlanmasının olasılığı p = m 2 / n olur. Buradan, ilk dört tanışmada, k = doğru eş bulma olasılığı (1) 15 (3 4 ) = 3 4 , 16’ncı kızın doğru eş olmama yaklaşık sonuçlar elde etmek, daha güvenilir bir yaklaşım
4
0
olsun. olasılığıyla aynı olur. Bir başka deyişle, gerçekleşmiş olayın
olasılığı olur.
3°) Doğru eşi bulmak için gerek ve yeter koşul, eşlerin 81 81 olasılığı etkisiz öğe 1 olduğu için, ilk 15 tanışmanın sonuçları Erkeklerin beğenme olasılığı p , kızların beğenme
E
=
birbirinden, evlenmek isteyecek kadar çok hoşlanması P (0) 1⋅ 256 = 256 %32 16’ncı tanışmanın sonucunu etkilemez. olasılığı p ; erkeklerin sayısı t , kızların sayısı t olsun.
E
K
K
olsun. Tablo 1’de verilen, tanışma sayısı t ’nin ve tanıştığı Olası t t çiftin her biri için, [0,1 aralığında bir rasgele sayı
]
4
P (1) = ⋅ 27 = 108 %42 kişiden evlenmek isteyecek kadar hoşlanma olasılığı E K
4°) Herhangi bir tanışmanın doğru eş olma olasılığı, önceki 256 256 üretilsin. Rasgele sayısı p p ’den küçük olan eşler, birbirini
E K
ve sonraki tanışmalara bağlı olmasın. 9 54 p = 1/ n ’nin n = 2, 8, 32,128 değerleri için doğru eşi beğenen çiftler dizelgesine (listesine) konulsun ve çiftler
P (2) = ⋅ = %21 bulamama olasılıkları incelendiğinde, görülen
6
5°) Bir tek erkek, birden çok kızla tanışıyor olsun. 256 256 gerçekleşemeyecek kadar büyük tanışma sayıları, insanın arasındaki olası çakışmalar aşağıdaki eşleme yöntemiyle
giderilsin.
12
3
4
Karşılaşılan kişiden, evlenecek kadar çok hoşlanma P (3) = ⋅ 256 = 256 %5 aklına, ister istemez, şu olası sonuçları getirmektedir:
olasılığını, p = m / n = 1/2 seçelim. Bu durumda, çoğunlukla 1 1 Eşleme Yöntemi: Bir toplantıda, t sayıda erkek ile t
E
K
=
şöyle bir sonuca varılır: Bir erkek bir kızla tanıştığında, o P (4) 1⋅ 256 = 256 %0,4 (25) Tablo 1. Evlenecek Kadar Hoşlanma Olasılığı p = 1 n İçin sayıda kız tanışır. Toplantının sonunda, her erkek evlenecek
t
2
kızın doğru eş olma olasılığı p = 1/ 4 olduğuna göre, bir t Tanışmada Doğru Eşi Bulamama Olasılığı ( −1 p 2 ) kadar hoşlandığı kızların, her kız da evlenecek kadar
2
erkek, t = 1/ p = kızla tanıştığında doğru eşi bulacaktır. ve bu olasılıklardan da, doğru eş bulma sayısının beklenen hoşlandığı erkeklerin dizelgesini yapar. Bu dizelgeler
4
Bu, olasılık olarak, umulan, beklenen, kestirilen değerdir; değeri p = 1 2 p = 1 8 p = 1 32 p = 1 128 karşılaştırılarak, birbirini beğenen çiftler dizelgesi yapılır,
olacağı söylemez, kestirir. Bir başka deyişle, bu erkek doğru 81 108 54 12 1 2 sonra da, çiftler arasındaki olası çakışmalar şu yolla yok
eşi bulsa da bulmasa da, araştırmasını sürdürüp birçok 0 ⋅ 256 + 1⋅ 256 + 2⋅ 256 + 3⋅ 256 + 4 ⋅ 256 = 1 t n t [%] t [%] t [%] t [%] edilir:
kereler art arda 4 kızla tanışsa, kimi kez doğru eşi (26) ¼ 1 75 16 78 256 78 4096 78 1°) Dizelgedeki erkekler arasında, beğendiği bir tek kız olan
bulamayacak, kimi kez 1, 2, 3, hatta 4 doğru eş bulacak, ž 2 56 32 60 512 61 8192 61 bir erkek varsa, beğendiği kızla birlikte yeni dizelgeye
ancak, bulduğu doğru eş sayılarının ortalaması (beklenen bulunur. Görüldüğü gibi, ilk 4 tanışmada karşılaşılması 1 4 32 64 36 1024 37 16384 37 yazılır. Hem erkek hem eşi, beğendiği erkeklerle birlikte
değeri) 1 olacaktır. Bu erkeğin art arda tanıştığı dört kız, beklenen doğru eş sayısının 1 olmasına karşın, doğru eş 2 8 10 128 13 2048 14 32768 14 dizelgeden silinir. Yeni dizelgeye yazılan çift olsa da
1 4 olasılıkla doğru eş üreten 4 bağımsız kaynağın bileşkesi bulamama olasılığı ( 81 256 %32) çok yüksektir. Bu 4 16 1 256 2 4096 2 65536 2 olmasa da ikinci adıma gidilir.
olarak düşünüldüğünde, bu kaynağın örnek uzayındaki olasılığın % 1’e düşmesi için gereken tanışma sayısı 16’dır: 6 24 0,1 384 0,2 6144 0,2 98304 0,2 2°) Dizelgedeki kızlar arasında, beğendiği bir tek erkek olan
16
1
öğelerden, içinde k doğru eş (D), (4 k− ) yanlış eş (Y) olan (3 4 ) 0,010 = %1. Dolayısıyla, p < ise, sonlu sayıda 8 32 0,01 512 0,03 8192 0,03 131072 0,03 bir kız varsa, beğendiği erkekle birlikte yeni dizelgeye
dörtlüler, bu dörtlülerin sayısı ve olasılıkları, tanışma, doğru eşi bulmak için yeterli olmayabilir! yazılır. Hem kız hem eşi, beğendiği kızlarla birlikte
(Yukarıda olduğu gibi, örnek uzayındaki öğeler,
0
4
3
1
k = 0 : {YYYY } → = 1 4 = 81 { , s , ...,s } , sayısal değerlerden oluştuğunda, bu sayısal 1°) Doğru eşi bulabilmek için iyimser ( p ≥ 1/8 ) olmak dizelgeden silinir. Birinci adımda veya bu ikinci adımda,
s
0
4
N
1
2
4 256 değerlerin beklenen değeri { }E s , örnek uzayının üzerinde gerekir. Nitekim, tipini, giyimini, boyunu bosunu, yaşını yeni dizelgeye yazılan bir çift varsa, birinci adıma gidilir;
DYYY , beğenmediğimiz kimselerle tanışmak istemeyiz. yoksa, üçüncü adıma gidilir.
YDYY , 4 1 3 tanımlanan olasılık dağılım fonksiyonu, [1]’deki (3) bağıntısı Dolayısıyla, p olasılığı, düşündüğümüzden daha büyük bir
3
1
k = 1: → = 4 = 27 kullanılarak şöyle hesaplanır: değere sahiptir. 3°) Dizelgedeki ilk çift yeni dizelgeye yazılır. Hem erkek,
1
4
YYDY , 4 256 beğendiği kızlarla birlikte, hem kız, beğendiği erkeklerle
N
YYYD E { } = ∑ s P ( ) (27) 2°) Karşılıklı beğeniyi birbirinden bağımsız iki olay olarak birlikte dizelgeden silinir ve birinci adıma gidilir.
s
s
i= 1 i i görmek yanlış olur: Karşımızdaki kişinin bizden Örneğin, 9 erkeğin 9 kızla tanışması sonunda elde edilen
Örnek uzayı, gerçel sayı doğrusu üzerindeki bir [ , ]a b aralığı hoşlanıyor olması, bizim de ondan hoşlanmamızın aşağıdaki karşılıklı beğeni dizelgesindeki çakışmalar, bu
olduğunda, beklenen değer, olasılığını arttırır. yöntemle, şöyle giderilir:
1
E { } = ∫ b s P ( ) ds (28) 3°) Daha önceki tanışmalarda doğru eşi bulamamak, bizi 1 2 2 2 3 3 4 5 6 6 6 8 8 8 9 9 9 →
s
s
(1 )
°
daha iyimser yapar.
a
1
1 4 5 6 7 8 9 2 4 7 8 5 6 8 1 2 5
100 Sayı 07 · Eylül-Aralık 2011 http://www.bilgem.tubitak.gov.tr/ 101
