Page 137 - bilgem-teknoloji-dergisi-6

C. Nezih GEÇKİNLİ Olasılık Kuramına Bir Giriş - I: Temel Kavramlar

kaynaktaki kaçınılmaz olayın olasılığı 1 yapılsın. (Bölme ( PA ∩ B ∩ C ∩ D ) bağımsız olduğu ve diğer on bir eşitliği de sağladığı eşitliklerinin sağlanması ve ayrıca, her üç olayın kesişiminin
işlemi, temel olayların olasılıklarının birbirlerine göre = PA ( P A∩ B ) ( P A ∩ B ∩ C ) ( P A ∩ B ∩ C ∩ D ) (17) kanıtlanmış olur. de dördüncüden bağımsız olması gerekir:
()
()
oranlarını koruduğu için, bulunan yeni olasılık değerleri PA ( PA∩ ) B ( P A ∩ B ∩ ) C
) ( )
() ( | ) (| A ∩
) ( | A ∩
doğrudur.) Tanımlanan bu yeni kaynağın yardımıyla, = PA P B A P C B P D B ∩ C ) A ve B olayları birbirinden bağımsız iki olaysa, insan, ( PA ∩ B ∩ C ∩ D ) = ( PA ∩ B ∩ C P D
) ( ) C
koşullu olasılık olarak adlandırılan, B olayı gerçekleş- genellikle yanılıp, bu iki olayın kesişmediğini düşünür. Oysa, = ( PA ∩ B ∩ D P
) ( ) B
tiğinde A olayının da gerçekleşme olasılığı (|), kolayca olur [12]. Diğerleri, bu bağıntıdan, olaylar yer değiştirilerek birbiriyle kesişmeyen iki olay arasında güçlü bir bağ vardır: = ( PA ∩ C ∩ D P (27)
PA
B
) ( ) A
hesaplanabilir: elde edilebilir. Olaylardan biri gerçekleştiğinde diğeri gerçekleşemez. Bir = ( PB ∩ C ∩ D P
başka deyişle, olasılığı 0 olmayan iki olayın birbirinden = P A PB P C PD
() ( ) ( ) ( )
Eski kaynakta A olayını oluşturan temel olaylardan, 5 BAĞIMSIZ OLAYLAR bağımsız olabilmesi için, birbiriyle kesişiyor olması gerekir.
yalnızca, A olayı ile B olayının kesişimindekiler yeni A ile B birbirinden bağımsız iki olay ise, A olayının Örneğin, atılan dengeli bir zarın çift (2, 4 ya da 6) gelmesi Genel olarak, n olayın birbirinden bağımsız olması için,
kaynağın çıkışında gözükebilir. Yeni kaynaktaki her çıktı B gerçekleşmesi ya da gerçekleşmemesi B olayının ile 3’ten küçük (1 ya da 2) gelmesi olayları, birbiriyle kesişen, gerek ve yeter koşul, her k = 2, 3, ..., n olay için, olayların
olayının gerçekleştiğini gösterdiği için, A ile B olayının gerçekleşmesine ya da gerçekleşmemesine ve tersine, B ancak, birbirinden bağımsız iki olaydır: kesişiminin olasılığının, olayların olasılıklarının çarpımına
kesişimindeki temel olayların yeni kaynaktaki ( ()PB ’ye olayının gerçekleşmesi ya da gerçekleşmemesi A olayının eşit olmasıdır. n olay için sağlanması gereken eşitlik sayısı
bölünerek bulunan) olasılıklarının toplamı, B olayının gerçekleşmesine ya da gerçekleşmemesine bağlı olamaz. Bu P ({2,4,6}∩ {1,2}) = P (2) = 1 , n ’ye üstel bağımlı olarak artmakta, 2 n − (n +1) olmaktadır
gerçekleşmesi koşulu altında A olayının gerçekleşmesi durumda, aşağıdaki eşitliklerin tümü sağlanır: 11 6 1 (22) [2]. Öte yandan, birbirinden bağımsız n olay üzerinde
P
olasılığını, eski kaynaktaki olasılıklar cinsinden P ({2,4,6}) ({1,2}) = ⋅ = yapılan kimi küme işlemleri bağımsızlığı korumaktadır [13]:
( ) ,
PA P A 23 6
(| ) B =
( PA ∩ ) B Teorem: A A ,..., A , birbirinden bağımsız n olay olsun.
,
(|) B =
PA (10) PB PB A, B, C gibi üç olayın birbirinden bağımsızlığı söz konusu 1 2 n
(|) A =
( ) ,
PB B ’nin rasgele A ya da A′ seçilmesiyle oluşturulan
()
i
i
i
PA B′ PA olduğunda, herhangi iki olayın birbiriyle bağımsız olması, BB ,...,B olayları da birbirinden bağımsızdır. Ayrıca,
( ) ,
(| ) =
,
1
n
olarak verir. Doğal olarak, bu eşitlik, A ile B yer PB′ PB′ ( PA ∩ ) B = P ( ) ( ) , { ,BB 2 ,...,B olaylar kümesinin birbiriyle kesişmeyen kimi
(| ) A =
( ) ,
A
P
B
}
1
n
2
değiştirdiğinde de geçerlidir: PA B′ (| ) = PA′ ( ) , (18) ( PA ∩ ) C = PA P C (23) alt kümelerinin her birinin içindeki olayların ya tümünün
′
( ) ( ) ,
( PB ∩ ) A PB A′ (| ) = PB′ ( ) , ( PB ∩ C ) = PB P C bileşimi ya da tümünün kesişimi alınarak elde edilen olaylar
′
( ) ( ) ,
PB A (11)
(|) =
PA PA′ PA′ ayrıca, herhangi iki olayın kesişiminin de üçüncüden da birbirinden bağımsızdır.
()
(| ) B =
( ) ,
( )
(| ) =
Son iki eşitlik, PA B ( | ) koşullu olasılıkları PB A′ PB bağımsız olması gerekir:
A
( | ) ile PB
arasındaki ilişkiyi verir: Bu eşitliklerden, (12) eşitliği kullanılarak, şu dört eşitlik elde ( PA ∩ B ∩ ) C = ( P A∩ B P 6 BAĞIMSIZ KAYNAKLAR
) ( ) C
Bir kaynağın çıktısı, birbirinden bağımsız, birden çok
( P A ∩ ) B = P ( | ) ( ) = PB A P A (12) edilir: = ( PA ∩ C P (24) sayıda özelliğin bileşkesi ise, bu kaynak, bağımsız
( | ) ( )
PB
B
A
) ( ) B
) ( ) A
( ) ( ) ,
Bu ilişki, koşullu olasılıkların oranının koşulsuz olasılıkların ( PA ∩ ) B = PA P B = ( PB ∩ C P özelliklerden her birini birisinin ürettiği, birbirinden
() ( ) ( ) C
( ) ( ) ,
oranıyla aynı olduğunu gösterir: ( PA ∩ B′ ) = PA P B′ (19) = PA P B P bağımsız, paralel çalışan kaynaklar olarak da modellenebilir.
( PA′ ∩ B′ ) = PA P B′ () () ,
′
A
(| )
PA B = P ( ) (13) Örneğin, Örneğin, bir kaynağın art arda ürettiği n çıktı, kaynak
′ ∩
( ) ( ) B
( )
(| )
PB A PB ( PA′ ) B = PA P S = {1,2,3,4,5,6,7,8} , P (1) = P (2) ... = = P (8) 1/8 , durağan ve belleksiz varsayıldığı için, birbirinden
=
Örneğin, atılan dengeli bir zarın çift geldiğini Bu dört eşitlikten herhangi birini sağlayan A ve B olayları, A = {1,2,3,4} , B = {3,4,5,6} , C = {2,4,6,8} , bağımsızdır. Dolayısıyla, art arda n çıktıyı çıktı kabul eden
() =
bildiğimizde gelen sayının 4 olma olasılığı yukarıda verilen sekiz eşitlikten ikisini sağlar, yani, PA P () B = P C = ( ) 1/2 , bir kaynak, birbirinden bağımsız, paralel çalışan n kaynağın
birbirinden bağımsızdır. Örneğin, (19)’un ilk eşitliği ( PA ∩ ) B = P ({3,4}) 1/ 4 = P A P B (25) çıktılarını çıktı kabul eden bir kaynak olarak da
=
( ) ( ) ,
P (4 ∩ {2,4,6}) P (4) 1 düşünülebilir [2] (§3, Yinelenen Deneyler, ‘Repeated Trials’).
P (4|{2,4,6}) = = = , (14) kullanılarak (18)’in ilk iki eşitliği kanıtlanabilir: ( PA ∩ ) C = P ({2,4}) 1/ 4 = PA P C
( ) ( ) ,
=
P ({2,4,6}) P ({2,4,6}) 3
() ( )
( PA ∩ ) B PA P B ( PB ∩ C ) = P ({4,6}) 1/ 4 = PB P C Örneğin, art arda iki kez atılan paranın çıktılarını çıktı
=
( ) ( ) ,
A
(| ) =
4 geldiğini bildiğimizde gelen sayının çift olma olasılığı PA B PB = PB = P ( ) , (20) ( PA ∩ B ∩ ) C = P (4) 1/8 = PA P B P C kabul eden ve dört öğeli örnek uzayı {YY ,YT ,TY ,TT olan
}
()
()
=
( ) ( ) ( )
() ()
P ({2,4,6}∩ 4) P (4) ( PB ∩ ) A PB P A Kaynak-2, örnek uzayları
(|) =
( )
P ({2,4,6}|4) = = = 1 (15) PB A = = PB özelliklerine sahip A, B, C olayları birbirinden bağımsızdır.
()
()
P (4) P (4) PA PA {, } (28)
YT
Benzer biçimde, A, B, C ,D gibi dört olayın birbirinden
ve ikisinin oranı da Ayrıca, (19)’daki dört eşitlikten herhangi birini sağlayan A ve ve temel olaylarının olasılığı
B olayları diğer üç eşitliği de sağlar. Nitekim, bu eşitliklerin bağımsız olması için, her üç olayın birbirinden bağımsız
( ) =
() =
P (4|{2,4,6}) = P (4) = 1 (16) olması, yani PY , p PT , q p + q = 1 (29)
P ({2,4,6}|4) P ({2,4,6}) 3 birincisinden ikincisi, ikincisinden üçüncüsü, üçüncüsünden
( ) ( ) ,
( ) ( ) ,
dördüncüsü ve dördüncüsünden birincisi elde edilebilir. ( PA ∩ ) B = PA P B ( PA ∩ ) C = P A P C olan, bağımsız, paralel çalışan iki kaynağın bileşkesi olarak
( ) ( ) ,
( ) ( ) ,
olmaktadır. Örneğin, ( PA ∩ D ) = PA P D ( PB ∩ C ) = PB P C düşünülebilir. Bu durumda, O = {YY ,YT , birinci kaynağın
}
5
( ) ( ) ,
( ) ( ) ,
}
() =
() ( ) PA ∩
Yukarıda k = olay için bulunan koşullu olasılık A = (A∩ ) B ∪ (A∩ B′ ) ⇒ PA PA P B + ( B′ ) (21) ( PB ∩ D ) = PB PD ( PC ∩ D ) = PC P D Y üretmesine, tümleyeni O′ = 5 O 10 = {TY ,TT , birinci
2
( ) ( ) ( ) ,
}
B′
6
P
()(1 P
A
2
bağıntıları (10) ve (11), k > için de !k biçimde yazılabilir. ⇒ ( PA ∩ B′ ) = PA − ()) = B P () ( ) ( PA ∩ B ∩ ) C = P A P B P C kaynağın T üretmesine; O = {YY ,TY , ikinci kaynağın Y
() () ( ) ,
}
Örneğin, A, B, C ve D olayları için bağıntılardan biri ( PA ∩ B ∩ D ) = PA P B P D (26) üretmesine, tümleyeni O 6 ′ = 9 = O {YT ,TT , ikinci kaynağın
bağıntısını elde edebiliriz. ( PA ∩ C ∩ D ) = PA P C P D T üretmesine karşı düşer. Dolayısıyla,
( ) ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( )
)
( ) =
Böylece, (18) ve (19)’daki toplam on iki eşitlikten ( PB ∩ C ∩ D ) = PB P C PD ( PO = ( PO = 6 ) PY p , (30)
5
( ) =
herhangi birini sağlayan A ve B olaylarının birbirinden ( PO 10 ) = ( PO = 9 ) PT q
134 Sayı 06 Mayıs-Ağustos 2011 http://www.bilgem.tubitak.gov.tr/ 135
·