Page 135 - bilgem-teknoloji-dergisi-6

C. Nezih GEÇKİNLİ Olasılık Kuramına Bir Giriş - I: Temel Kavramlar

Kaynak-1: 3-6 aylık bebeklerin cinsiyeti, kilograma Örneğin, temel olaylardan biri gerçekleştiğinde, diğer Ps 0, s∈ S (3) • S örnek uzayının s öğesine karşı düşen O temel
() ≥
i
i
yuvarlanmış ağırlıkları ve santimetreye yuvarlanmış boyları, temel olaylar gerçekleşemez. olayının olasılığı, olasılık dağılım fonksiyonunun s ’deki
i
çıktı olsun. Erkek E, kız K ile; 3’ten küçük ağırlıklar 3, • Kümesinde ortak öğeleri olan olaylara kesişen olaylar, örnek uzayındaki her öğeye karşı, değeriyle aynı olur: ( ) = P ( ) s . (Örnek uzayı, gerçel
PO
i
i
12’den büyük ağırlıklar 12 ile; 50’den kısa boylar 50, 79’dan kesişen olayların ortak öğelerinin oluşturduğu olaya N Ps = (4) sayı doğrusu üzerindeki bir aralık olduğunda, bu aralık
() 1
uzun boylar 79 ile gösterilsin. Bu kaynağın örnek uzayı, kesişim olayı denir. Kesişim olayı gerçekleştiğinde, ∑ 1 i herhangi bir biçimde N parçaya ayrılarak, N öğeli bir
i=
2 10 30 = 600 öğeli {( ,3,50), ( ,3,51), ..., ( ,12,79)}E E K kesişen olayların hepsi birden gerçekleşir. kümeye dönüştürülebilir. Bu durumda, her öğeye karşı
×
×
kümesidir. koşulunu sağlayan bir olasılık değeri atar [9]. (Bu koşullar, düşen temel olayın olasılığı, o öğeye ait aralıkta, ()Ps ’nin
() 1 olmasını gerektirir. Örnek uzayı, gerçel sayı
Örneğin, Kaynak-2’de, kesişen O ile O olaylarının Ps ≤
i
• Örnek uzayının her alt kümesine olay denir [9]. 12 14 altında kalan alan olur.)
a
kesişimi O olayıdır: O ∩ 12 O 14 = O . O olayı gerçekleş- doğrusu üzerindeki bir [ , ] b aralığı olduğunda, örnek
9
9
9
Kaynak-2: Bir bozuk para, geniş düz bir alanda, en az bir tiğinde, yani, kaynağın çıktısı YT ya da TT olduğunda, O uzayındaki öğe sayısı sonsuz olur ve ikinci koşul (4) • Herhangi bir olayın olasılığı, o olayın kümesindeki
12
metre yukarıya doğru, en az 10 kez dönecek biçimde elle ile O olayları da gerçekleşir. b öğelere karşı düşen temel olayların olasılıklarının
14
() ds =
atıldığında, dik olanları dışında art arda gelen iki atış • Kesişen ya da kesişmeyen olayların bileşimi, bu olayların ∫ a Ps 1 (5) toplamına eşit olur. (Örnek uzayı, gerçel sayı doğrusu
sonucu, çıktı olsun. Yazı Y, tura T ile gösterilsin. Bu kümelerindeki öğelerin tümünü içeren olaydır. haline gelir.) üzerindeki bir aralık olduğunda, herhangi bir olayın
()
kaynağın örnek uzayı olasılığı, o olaya ait aralık ya da aralıklarda, Ps ’nin
Örneğin, Kaynak-2’de, O ile O olaylarının bileşimi Olasılık değerleri değişik yollardan elde edilebilir: altında kalan toplam alan olur.)
S = {YYYT TYTT } (1) 7 10
,
,
,
O olayıdır: O ∪ 7 O 10 = O • Dengeli (hilesiz) bir zar atıldığında, her yüzün gelme Örneğin, Kaynak-2’de, (PO ) = ( PO ) PO ) PO
+
+
13
(
(
13
)
4
kümesidir. Bu 4 öğeli kümenin olası 2 = 16 alt kümesinin • Her olay, olayın kümesindeki öğelere karşı düşen temel olasılığı aynı olduğundan, her bir sayının gelme olasılığı 11 1 2 3
her biri ayrı bir olayı gösterir: olayların bileşimidir. 1/6’dır: • Olanaksız olayın olasılığı ()P φ , kümesi boş olduğu için 0;
()
kaçınılmaz olayın olasılığı PS , kümesinde, örnek
=
O = 0 {} φ , Örneğin, Kaynak-2’de: O = O ∪ O ∪ O 1 uzayın tüm öğeleri olduğu için 1’dir.
O = 1 {YY }, O = 2 {YT }, O = 3 {TY }, O = 4 {TT }, 14 2 3 4 P (1) = P (2) = ... = P (6) = 6 (6)
,
,
O = 5 {YYYT }, O = 6 {YY TY }, O = 7 {YYTT }, • Bir olayın kümesinde olmayan öğelerin oluşturduğu Atanan bu olasılık değeri akıl yürütme yoluyla elde Örneğin, Kaynak-2’de:
,
olaya, tümleyen olay ya da olayın tümleyeni denir. Bir
)
φ
O = 8 {YT TY }, O = 9 {YT TT }, O 10 = {TY TT }, (2) olay gerçekleştiğinde, olayın tümleyeni gerçekleşmez. edilmektedir. ( PO = P ( ) = 0 ,
,
0
,
,
+
+
( ) 1
(
,
,
,
O 11 = {YY YT TY }, O 12 = {YY YT TT }, • Türkiye İstatistik Kurumu’nun Boşanma İstatistikleri Veri ( PO 15 ) = ( P O + 1 ) ( PO 2 ) PO 3 ) PO = ( 4 ) PS =
,
Örneğin, Kaynak-2’de, O olayının tümleyeni O ; O
,
,
,
O 13 = {YY TY ,TT }, O 14 = {YT TY TT }, olayının tümleyeni O ’dır: ′ =O 6 O , ′ = O 9 9 Tabanı’na göre [10], 2007 yılında boşanan 94219 çiftten • Kesişmeyen olayların bileşimi olan olayın olasılığı, bu
O
O 15 = {YYYT TYTT = , , , } S 6 6 9 9 6 3779’unun evlilik süresi 1 yıldan azdır: kesişmeyen olayların olasılıklarının toplamı olur.
• Olanaksız olayla kaçınılmaz olay birbirini tümler.
PB = 1 } Örneğin, Kaynak-2’de:
() {Boşanan çiftin yıldan az evli kalma olasılığı
Bir başka deyişle, kaynak hiçbir çıktı üretmediğinde O Örneğin, Kaynak-2’de: O′ O = S , O′ = = O = φ (7)
0
olayı; YY ürettiğinde, O OOO O 11 , O 12 , O ve O 0 15 15 0 = 0,040 ( PO 11 ) = ( PO ∪ 1 O 8 ) = ( P O + 1 ) ( PO 8 )
,
,
,
,
13
15
1
6
7
5
(
,
,
,
olayları; YT ürettiğinde, OO OOO 11 , O 12 , O ve O • Bir olay ile onun tümleyeni olan olay kesişmez. Atanan bu olasılık sayım yoluyla elde edilmektedir. = ( PO + 1 ) PO ∪ ( 2 O 3 ) = ( PO + 1 ) PO + ( 2 ) PO 3 )
,
8
9
14
2
5
15
,
,
olayları; TY ürettiğinde, OO O O 10 , O 11 , O 13 , O ve Örneğin, Kaynak-2’de: O ∩ ′ = O ∩ O = O = O φ
,
6
8
14
3
,
O olayları; TT ürettiğinde de OO O O 10 , O 12 , O 13 , 6 6 6 9 0 • Türkiye İstatistik Kurumu’nun açıkladığı, Türkiye ile • Bir olay ile onu tümleyen olayın olasılıklarının toplamı
,
,
15
9
4
7
O ve O olayları gerçekleşir. Kaynak herhangi bir çıktı • Bir olay ile onu tümleyen olayın bileşimi kaçınılmaz birlikte 14 ülkede gerçekleştirilen 2008 yılına ilişkin, 1’dir.
14
15
ürettiğinde, O olayı mutlaka gerçekleşmektedir. olaydır. Küresel Yetişkin Tütün Araştırması’nın sonucu elde Örneğin, Kaynak-2’de: (PO 6 ) + 6 ′ = ( PO ) 6 ) + ( PO 9 ) 1
= ( PO
15
Örneğin, Kaynak-2’de: O ∪ ′ = O ∪ O = O =O S edilen, gençlerin sigara kullanma alışkanlığı [11],
• Kümesi boş ({}) olan olaya, “olanaksız olay” (φ ); 6 6 6 9 15 • Kesişen iki olayın bileşimi olan olayın olasılığı, iki olayın
() =
−
kümesinde tek öğe olan olaya, “temel olay”; kümesi • Bir olayın başka bir olayla ve o olayın tümleyeniyle PG {15 24 yaş arası sigara kullanma olasılığı } (8) olasılıklarının toplamından iki olayın kesişimi olan olayın
örnek uzayı S olan olaya da “kaçınılmaz olay” (S) adı kesişimleri kesişmeyen olaylardır. = 0,253 olasılığı çıkarılarak elde edilebilir.
verilir. örnekleme yoluyla kestirilmektedir.
Örneğin, Kaynak-2’de: Örneğin, Kaynak-2’de:
Örneğin, Kaynak-2’de O , olanaksız olay; OOO ve (O ∩ O ) ∩ (O ∩ O′ ) (O ∩ O ) ∩ (O ∩ O′ ) = O = φ • Bir doktorun tedavi etmeye başladığı hasta için söylediği
,
,
0
1
2
=
3
O , temel olaylar; O , kaçınılmaz olaydır. 8 6 8 6 8 8 6 6 0 iyileşme olasılığı, örneğin %80, ( P O ∪ 5 O 9 ) = ( P O + 5 ) P (O − 9 ) P (O ∩ 5 O 9 )
4
15
−
+
(
)
(
2
• Bir olayın başka bir olayla ve o olayın tümleyeniyle = [( PO + 1 ) PO 2 )] [( PO + 2 ) ( PO 4 )] PO
• Olaylar kümelere verilen adlar olduğu için, kümeler için P () {Tedavi edilen hast nın iyileşme olasılığı } = ( PO + ) PO + ( ) PO = ( ) ( PO )
α
=
T
geçerli olan tüm kavram ve işlemler olaylar için de kesişimlerinin bileşimi, olayın kendisini verir. = 0,800 (9) 1 2 4 12
geçerli olmaktadır. Örneğin, Kaynak-2’de:
doktorun kişisel görüş ve deneyimlerine dayanarak 4 KOŞULLU OLASILIK
• Kümelerinde ortak öğesi olmayan olaylara kesişmeyen (O 8 ∩ 6 )∪O (O 8 ∩ 6 ) ′ =O (O 8 ∩ 6 )∪O (O 8 ∩ O 9 ) yaptığı değerlendirme sonucu verdiği, 0–1 arası nottur.
olaylar denir. = 3 ∪ O 2 =O O 8 Yeni bir kaynak tanımlansın; öyle ki, eski kaynağın
Yukarıda verilen, akıl yürütme, sayım, örnekleme ve ürettiklerinden, yalnızca, olanaklı bir B olayının kümesinde
Örneğin, temel olaylar kesişmez. olanları dışarı çıkartsın, diğerlerini çıkartmasın, göz ardı
3 OLASILIK duygusal değerlendirme yoluyla elde edilen olasılık
• Kesişmeyen olaylardan herhangi biri gerçekleştiğinde, değerlerinin güvenilirliği, sırasıyla azalmaktadır. Ancak yine etsin. Bir başka deyişle, örnek uzayı S olan kaynaktan, örnek
s
1
diğerleri gerçekleşemez. N öğeli örnek uzayı S = { , s 2 , ...,s N } üzerinde de, olasılık kuramında, atanan her olasılık değerinin tam uzayı S ’nin alt kümesi B olan yeni bir kaynak elde edilsin.
tanımlanan olasılık dağılımı fonksiyonu doğru olduğu varsayılır. Sonra, B ’deki temel olayların (öğelerin) olasılıkları, bu
olasılıkların toplamı olan PB
() ’ye bölünerek, yeni
132 Sayı 06 Mayıs-Ağustos 2011 http://www.bilgem.tubitak.gov.tr/ 133
·