Page 141 - bilgem-teknoloji-dergisi-6

C. Nezih GEÇKİNLİ Olasılık Kuramına Bir Giriş - I: Temel Kavramlar

=
( PA 1 |B + 1 ) ( PA 2 |B 1 ) 1 , gönderse, alıcı, değişmeyen olasılıklarla, B , B ve B ( PA i |B = 1 ) ( PA i |B = 2 ) ( P A i |B = 3 ) ( PA i ) , i = 1,2 (57) biliniyor olsun. Bu değerlerden, (12), (42), (10) ve kesişen iki
1
2
3
( PA 1 |B + 2 ) ( P A 2 |B = 2 ) 1 , (50) üretmeyi sürdürür; yani, bulunur (Şekil 3b)). Özetle, iletişim hattı koptuğunda, olayın bileşimi olan olayın olasılığını veren bağıntı (§3)
( PA 1 |B + 3 ) ( PA 2 |B = 3 ) 1 ( PB j | A = 1 ) ( PB j | A 2 ) , j = 1,2,3 (53) ( PB j | A i ) = ( PB j | A + i 1 ) = ( PB j ) , kullanılarak hesaplanabilen diğer olasılık değerleri, yani
( PA ∩
B
) =
0,12
( PA ∩
B
) =
0,42
|
|
bağıntıları da geçerlidir. bağıntıları geçerli olur. Dolayısıyla, ( PA B j ) = ( PA B + j 1 ) = ( PA i ) (58) ( PA ∩ 1 1 B 1 2 ) = 0,06 ( PA ∩ 2 2 B 1 2 ) = 0,08
i
i
P
(
+
P
)
(
)
)
)
(
Yukarıda, PB , PB , PB bulunurken kullanılan ( PB = ( PB j | A 1 ) (A 1 ) PB j | A 2 ) ( A 2 ) olur. Dolayısıyla, ( PA ∩ 1 B 3 ) = 0,12 ( PA ∩ 2 B 3 ) = 0,20
(
j
1
3
2
(42) bağıntısı = ( PB j | A 1 ) ( (A 1 ) P A 2 )) (54) ( PA ∩ ) = B ( PA B ) (B ) ( PB = 0,54 ( PB = 0,14 ( PB = 0,32
+
P
(
)
)
)
2
|
3
P
1
n = ( PB | A ) , j = 1,2,3 i j i j j ( PA |B = 0,778 ( PA |B = 0,222
)
)
j ∑
P
( PB = ( PB j | A k ) (A k ) , (51) j 1 = ( PB j | A i ) (A i ) (59) 1 1 2 1
P
)
)
)
k= 1 = ( PA ) (B ) ( PA |B = 0,429 ( PA |B = 0,571
P
olur. Yani, i j 1 2 2 2
)
)
toplam olasılık teoremi olarak bilinir [2], [7]. Bu bağıntı, ( PB | A = ) ( PB | A = ) ( PB ) , j = 1,2,3 (55) ( PA 1 |B = 0,375 ( PA 2 |B = 0,625
3
3
|
)
( PA B koşullu olasılıkları bulunurken kullanılan (44) j 1 j 2 j bulunur. Bu da, beklenildiği gibi, iletişim hattı koptuğunda, ( PA ∪ 1 B 1 ) = 0,72 ( PA ∪ 2 B 1 ) = 0,82
i
j
bağıntısında yerine konulduğunda da, ünlü Bayes bağıntısı bulunur (Şekil 3a). Dolayısıyla, verici ile alıcının birbirinden bağımsız çalışan iki kaynağa ( PA ∪ 1 B 2 ) = 0,68 ( PA ∪ 2 B 2 ) = 0,46
elde edilir [2], [7]: ( PB | A ) (A ) dönüştüğünü gösterir. ( PA ∪ B ) = 0,80 ( PA ∪ B ) = 0,52 ;
P
( PB | A ) (A ) ( PA 1 |B = j ) j ( PB 1 ) 1 = ( PA 1 ) , j = 1,2,3 8 DENEYSEL YAKLAŞIM 1 3 2 3
P
( PA i |B = n j i i . (52) j (56) [0,1] arası rasgele sayı üretebilen bir benzetim programının
)
j
∑ ( PB j | A k ) (A k ) ( PA |B = ) ( PB j | A 2 ) (A 2 ) = ( PA ) , j = 1,2,3 Rasgele olayların olasılıkları, von Mises’in deneysel yardımıyla kestirilebilir:
P
P
k= 1 2 j ( PB j ) 2 yaklaşımı (§1) kullanılarak, benzetim programıyla • İlksel değerleri ata:
İletişim sisteminin Şekil 1a’daki verici olasılık modeli, kestirilebilir. Bu yolla, hem ulaşılan analitik sonuçlar
vericiyi modelleyen bağımsız bir kaynak ve onun çıkışına olur. Yani, doğrulanabilir, hem de analitik çözümü güç ya da olanaksız n = n 1 A = n 2 A = n B 1 = n 2 B = n 3 B = 0
bağlı, alıcıyı modelleyen bir bağımlı kaynakla da olasılık değerleri istenildiği kadar küçük yanılma ile n A ∩ 1 B 1 = n 2 A ∩ B 1 = n A ∩ 1 B 2 = n 2 A ∩ 2 B = n A ∩ 1 B 3 = n 2 A ∩ B 3 = 0
modellenebilir (Şekil 2). Bu modelde, verici kaynağı, (PA ( PA 1 ) ( PB 1 ) bulunabilir. Bunun için, öncelikle, rasgele davranan sistemin n A ∪ 1 B = n 2 A ∪ B = n A ∪ 1 B = n 2 A ∪ 2 B = n A ∪ 1 B = n 2 A ∪ B = 0
)
1
(
)
)
olasılıkla A , PA olasılıkla A üretmektedir. Verici ('0') A 1 ( PB B 1 ('0') kaynaklarla modellenmesi, sonra da, [0,1] aralığında rasgele 1 1 2 3 3
1
2
1
2
kaynağı A ürettiğinde, alıcı kaynağı, PB 1 | A olasılıkla ( PB sayı üretebilen C, Mathematica, Maple gibi bir programlama • Üretilen her (, )rr rasgele sayı çifti için şu işlemleri yap:
)
(
)
1
1
1
2
B , PB 2 | A olasılıkla B ve PB 3 | A olasılıkla B 2 diliyle kaynakların, dolayısıyla, tüm modelin benzetimini a = a = b = b = b = 0
(
)
)
(
1
1
2
3
1
)
1
3
üretmektedir. Verici kaynağı A ürettiğinde ise, alıcı ( PB yapmak gerekir. Bu benzetim programı n kez çalıştırılarak, n ++ 2 1 2 3
2
kaynağı, (PB 1 | A olasılıkla B , (PB 2 | A olasılıkla B ve B 2 ('?') olasılığı bulunmak istenilen A olayının gerçekleşme sayısı
)
)
2
2
2
1
)
)
1
( PB 3 | A olasılıkla B üretmektedir. Şekil 1b’deki alıcı ( PB ( PB ) n belirlenir. Bulunan bu sayının n ’ye oranı, n A / n , A eğer r < 0,6 : a ++ ,
1
A
2
3
1
olasılık modeli için aynı tip modelleme, olanaksızdır; çünkü, ( PB 2 olayının gerçekleşme olasılığı ()PA ’nın yaklaşık bir değerini eğer r < 0,7 : b + +
2
1
)
olasılık modelindeki, kolay anlaşılsın diye konulan ters yönlü 2 verir ve n büyüdükçe, yanılmanın standart sapması küçülür. eğer 0,7 ≤ r < 2 0,8: b + +
2
)
oklar nedenselliğe aykırı düşmezken, kaynaklar arasına, ('1') A 2 ( PB B 3 ('1') Benzer biçimde, B olayının gerçekleşme sayısı n , A ile B eğer r ≥ 0,8: b + +
3
B
nedenselliğe aykırı yönde (veri akışının tersine, alıcıdan ( PA 2 ) ( PB 3 ) olaylarının birlikte gerçekleşme sayısı n AB , A ile B eğer r ≥ 0,6 : a ++ 2 , 3
∩
vericiye doğru) ok koymak yanlış olur. olaylarından en az birisinin gerçekleşme sayısı n AB 1 2
∪
(a) belirlenerek, n AB / n ile (PA ∩ ) B olasılığının, n AB / n ile eğer r < 0,3: b + +
1
2
∩
∪
( PA ∪ ) B olasılığının, n AB / n ile PA B eğer 0,3 ≤ r < 2 0,5: b + +
( | ) koşullu
B
∩
2
( PA ) ( PB ) olasılığının yaklaşık değerleri bulunabilir. eğer r ≥ 0,5: b + +
ALICI 1 1 2 3
)
VERİCİ {BBB } {'0','?','1'} ('0') A 1 ( PA B 1 ('0') Örnek uzayı ve örnek uzayındaki öğelerin olasılıkları i = 1,2 ve j = 1,2,3 için,
≡
1
,
,
≡
{AA 2 } {'0', '1'} 1 ( PB 2 | A 3 ) , ( P B | A ) ( PA bilinen bir kaynağın benzetim programını yazmak çok eğer a > 0 , n i A ++
,
)
1
1
i
2
( PA ( PB 1 | A 1 ) , ( PB 1 | A ( PA kolaydır. Öncelikle, [0,1] aralığında, her öğeye, olasılığı eğer b > , n ++
)
0
)
1
)
( PA 2 1 2 2 1 genişliğinde bir yer ayrılır. Kaynağın her çıktısı için, [0,1] j j B
)
0
2
( PB 3 | A 1 ) , ( P B 3 | A 2 ) B 2 ('?') aralığında bir rasgele sayı üretilir. Bu sayı, hangi öğenin eğer ab > , n i A ∩ j B
j
i
( PA ( PB 2 ) bölgesine düşüyorsa, kaynak tarafından o öğenin eğer a + b > 0 , n i A ∪ j B
)
2
i
j
( PA üretildiğine karar verilir.
)
2
Şekil 2. Şekil 1a’daki verici olasılık modelinin, birbirine bağlı iki kaynakla Örneğin, olasılık modeli Şekil 1’de, kaynak modeli • n i A , n j B , n i A ∩ j B , n i A ∪ j B ≥ N olduğunda,
)
modellenmesi. ('1') A 2 ( PA B 3 ('1') n n
2
( PA 2 ) ( PB 3 ) Şekil 2’de verilen iletişim sistemini tanımlayan olasılıklardan ( PA = i A ( PB = j B
)
)
j
i
İletişim sistemi, kanal çok gürültülü olduğunda da yalnızca n n n n
)
)
çalışıyor olsun. Öyle ki, iletişim hattı koptuğunda bile, alıcı, (b) ( PA = 0,6 ( PA = 0,4 ( PA ∩ i B j ) = i A ∩ j B PA ∪ ( i B j ) = i A ∪ j B
1
2
iletişimin sürdüğünü sanarak, B , B ve B üretmeyi ( PB 1 | A = 0,7 PB 2 | A = 0,1 PB 3 | A = 0,2 n n n n
)
(
(
)
)
1
2
3
1
1
1
sürdürsün. Bu durumda, verici A de gönderse, A de Şekil 3. Şekil 1’deki iletişim sisteminin iletişim hattı koptuğunda, ( PB | A = 0,3 ( PB | A = 0,2 ( PB | A = 0,5 ( PA |B = i A ∩ j B ( PB | A = i A ∩ j B
)
)
)
)
)
2
1
(a) verici olasılık modeli, (b) alıcı olasılık modeli. 1 2 2 2 3 2 i j n j B j i n i A
138 Sayı 06 Mayıs-Ağustos 2011 http://www.bilgem.tubitak.gov.tr/ 139
·