Page 139 - bilgem-teknoloji-dergisi-6

C. Nezih GEÇKİNLİ Olasılık Kuramına Bir Giriş - I: Temel Kavramlar

n
)
olur. Ayrıca, birbirinden fiziksel olarak bağımsız iki kaynağa Sonuç olarak, birbirinden fiziksel olarak bağımsız n ayrı ( PB = j ∑ ( P A ∩ B ) ( PA olasılıkla, A simgesiyle gösterilen ‘1’ bilgisini
2
)
2
ait olan olaylar da bağımsız olacağından [2], kaynağa ait n olay, birbirinden bağımsızdır. Ancak, aynı i= 1 i j göndermektedir. İletişim sisteminin alıcı yanı, gönderilen ‘0’
)
(
n
1
1
( PO = 1 ) ( PYY = ) ( PO ∩ 5 O 6 ) = ( PO PO = ) ( 6 ) p 2 , kaynağa ait n olayın birbirinden bağımsız olabilmesi için, = ∑ ( PB j | A i ) ( A i ) (42) bilgisini, PB 1 | A olasılıkla doğru olarak, B simgesiyle
P
5
n
2 −
gösterilen ‘0’ bilgisi olarak alırken; iletişim kanalındaki
(n +
1) eşitliğin birden sağlanması gerekir (§5); yani, n
( PO = 2 ) ( PYT = ) ( PO ∩ 5 O 9 ) = ( PO PO = ) ( 9 ) p q , büyüdükçe, aynı kaynağa ait n olayın birbirinden bağımsız i= 1 gürültü nedeniyle, ( PB | A olasılıkla, bir karara
)
5
2
1
n
( PO = 3 ) ( PTY = ) ( PO 10 ∩ O 6 ) = ( P O 10 ) ( PO = 6 ) q p , (31) olma koşulları üstel olarak artar. = ( PB j ∑ ( P A i |B j ) , varamayarak, B simgesiyle gösterilen ve belirsizliği belirten
)
2
i= 1
)
(
( PO = 4 ) ( PTT = ) ( PO ∩ 10 O 9 ) = ( PO 10 ) ( PO = 9 ) q 2 , 7 BAĞIMLI KAYNAKLAR ‘?’ olarak; PB 3 | A olasılıkla da, yanlış olarak, B
1
3
n
( +
=
p + 2 p q + q pq = + 2 p (pq + + ) q pq = ) (pq ) = 2 1 ∑ ( PA i |B j ) 1 , (43) simgesiyle gösterilen ‘1’ bilgisi olarak almaktadır. Aynı
+
nedenle, benzer biçimde, iletişim sisteminin alıcı yanı,
Birbiriyle kesişmeyen ve bileşimi kaçınılmaz olay (örnek i= 1
(
)
olur. uzayı) olan olaylardan oluşan, n öğeli ( PA B ) ( PA ) gönderilen ‘1’ bilgisini, PB 1 | A olasılıkla, ‘0’ bilgisi;
2
|
( PB
| A olasılıkla, belirsizliği belirten ‘?’; PB
)
)
2
2
2
,
Bu sonuçlar incelendiğinde, atılan para dengesiz olsa da, {A A 2 ,..., A n } (35) ( PB i | A j ) = ( PB i ) (44) olasılıkla da, ‘1’ bilgisi olarak almaktadır. ( 3 | A
1
yani, yazı gelme olasılığı tura gelme olasılığıyla aynı olmasa j i j
da, O = {YT temel olayının gerçekleşme olasılığının, olay kümesindeki öğelerle, birbiriyle kesişmeyen ve bileşimi bağıntıları yazılabilir. Bu bağıntıları zihinde canlandırıp tam Açıktır ki, A ve A olayları, (35)’teki olay kümesiyle
}
2
1
2
}
O = {TY temel olayının gerçekleşme olasılığıyla hep aynı, kaçınılmaz olay (örnek uzayı) olan olaylardan oluşan, kavramaya yardımcı bir örnek, Şekil 1’de görülmektedir. Bu n = 2 için; B , B ve B olayları da (36)’daki olay
3
1
2
3
3
“p q” olduğu görülür. İşte bu özellik, yıllar önce Amerikan m öğeli şekilde, 0/1 ikili dizisine dönüştürülmüş bilgileri gürültülü kümesiyle m = için aynı yapıya sahiptirler. Bu nedenle,
,
,
,
}
}
halkının geliştirdiği, “Parayı üst üste iki kere at; yazı-tura {BB 2 ,...,B m } (36) iletişim kanalından ileten bir iletişim sisteminin [9], iki {A A kümesindeki öğelerle {BB B kümesindeki
,
2
2
1
3
1
1
2
gelirse, yazının geldiğine; tura-yazı gelirse, turanın geldiğine değişik olasılık modeli görülmektedir. Şekil 1a’daki verici öğelerin olası kesişimleri de, (37)’deki olay kümesiyle n = ,
karar ver; yoksa, çift atışı yinele.” [14] kuralının temelini olay kümesindeki öğelerin olası kesişimleri de, birbiriyle olasılık modeline göre, iletişim sisteminin verici yanı, ya m = 3 için aynı yapıya sahiptir. Yani, A , A , B , B ve B
1
3
2
2
1
2
3
)
oluşturmaktadır. Ayrıca, 0/1 olasılığı eşit olmayan (dengesiz) kesişmeyen ve bileşimi kaçınılmaz olay (örnek uzayı) olan ( PA olasılıkla, A simgesiyle gösterilen ‘0’ bilgisini ya da olayları, (38)–(44) bağıntılarını, n = , m = için sağlar.
1
1
rasgele ikili dizileri dengeli yapmak için, von Neumann’ın olaylardan oluşan, n m⋅ öğeli Dolayısıyla, Şekil 1a’daki verici olasılık modelinde,
önerdiği “Dizinin art arda gelen iki elemanlı bölümlerinden {A ∩ B 1 , A ∩ 1 B 2 ,..., A ∩ 1 B m , ( PA 1 ) PA 2 ) 1 , (45)
(
=
+
1
)
01 için 0, 10 için 1 üret, diğerlerini göz ardı et.” yöntemi de A ∩ B , A ∩ B ,..., A ∩ B , ( PA ( PB 1 )
1
(
+
=
+
(
bu özelliğe dayanmaktadır [14]. 2 1 2 2 2 m (37) ('0') A ( PB 1 | A B 1 ('0') ( PB 1 ) PB 2 ) PB 3 ) 1 , (46)
)
1
1
# # #
)
=
Yukarıdaki örnekten de görüldüğü gibi, birbirinden A ∩ B , A ∩ B ,..., A ∩ B ,} ( PB 2 | A ( PB 1 | A 1 ) PB 2 | A 1 ) PB 3 | A 1 ) 1 ,
+
+
(
(
1
bağımsız kaynakların bileşkesi olan kaynağın örnek n 1 n 2 n m ( PB 3 | A ( PB | A ) PB | A ) PB | A ) 1 , (47)
+
=
+
)
(
(
1
uzayındaki öğeler, bağımsız kaynakların örnek uzaylarındaki olay kümesini oluştururlar. Yani, örnek uzayı (37) olan B ('?') 1 2 2 2 3 2
)
(
P
P
+
öğelerin kombinezonları; bu yeni öğelerin olasılıkları da, o kaynak, örnek uzayları (35) ve (36) olan kaynakların bileşkesi 2 ( PB = ( PB 1 | A 1 ) (A 1 ) PB 1 | A 2 ) (A 2 ) ,
1
)
2
öğeyi (kombinezonu) oluşturan bağımsız kaynakların örnek olarak düşünülebilir. Bileşkesi alınan kaynaklar, ancak ve ( PB 1 | A ( PB 2 ) ( PB = 2 ) ( PB 2 | A 1 ) ( A 1 ) PB 2 | A 2 ) ( A 2 ) , (48)
P
P
(
+
( ) (B eşitliğini
)
uzaylarındaki öğelerin olasılıklarının çarpımı olmaktadır. ancak, olası her (, )i j için (PA ∩ i B j ) = PA i P j ) ( PB 2 | A ( PB = ) ( PB | A ) (A ) PB | A ) (A )
2
+
P
(
P
sağlıyorsa, birbirinden bağımsızdır (§6). 3 3 1 1 3 2 2
)
}
,
,
Örneğin, örnek uzayları {A A , {BB B ve temel ('1') A ( PB 3 | A B 3 ('1')
}
,
2
2
1
2
2
3
1
)
olaylarının olasılıkları (PA , (PA , (PB , (PB , (PB Açıktır ki, (37) kümesinde, içinde A olan tüm öğelerin ( PA ( PB 3 ) bağıntıları geçerlidir.
)
)
)
)
)
i
1
2
2
1
2
3
olan iki bağımsız kaynağın bileşkesi olan kaynağın örnek bileşimi A ’yi, içinde B olan tüm öğelerin bileşimi B ’yi Gürültülü iletişim kanalının yapısını belirleyen (PB j | A
)
j
j
i
i
uzayı verir. Dolayısıyla, (12) eşitliği de kullanılarak, (a) koşullu olasılıkları, iletişim sisteminin verici yanındaki,
n
{A BA BA B A B A BA B } (32) ∑ ( PA ) 1 , (38) “Gönderilen A , hangi olasılıkla B olarak alınmaktadır?”
,
,
,
,
,
i
j
1 2
22
23
11
2 1
1 3
=
)
1
i= 1 i ( PA ( PB 1 ) sorusuna yanıt vermektedir. Öte yandan, iletişim sisteminin
ve temel olaylarının olasılıkları ('0') A ( PA |B B ('0') alıcı yanındaki, “Alınan B ’nin, A olarak gönderilmiş
)
j
i
m 1 1 1 1 olmasının olasılığı nedir?” sorusuna yanıtı, PA |B
(
)
)
( PA B = ( PA 1 ) (B 1 ) , PA B = ( PA 2 ) (B 1 ) , ( PA = i ∑ ( PA ∩ i B j ) ( PA 1 |B i j
)
(
P
P
)
)
11
21
2
)
P
( PA B ) = ( PA 1 ) (B 2 ) , (PA B = ( PA 2 ) (B 2 ) , (33) j= 1 ( PA |B koşullu olasılıkları vermektedir. Dolayısıyla, (44) bağıntısıyla,
P
)
22
12
|B koşullu olasılıkları bulunarak,
)
( PA
m
( PA B = ( PA 1 ) (B 3 ) , PA B = ( PA 2 ) (B 3 ) = ∑ ( PA i |B j ) (B j ) (39) 1 3 B ('?') i j
(
)
)
P
P
P
23
13
) (
P
j= 1 2 ( PA |B = ( PB 1 | A P A 1 ) , PA |B = ( PB 1 | A 2 ) ( A 2 ) ,
1
)
)
(
)
olur. Bu olasılıkların toplamının her zaman 1 olacağı açıktır: m ( PA 2 |B ( PB 2 ) 1 1 ( PB 1 ) 2 1 ( PB )
1
)
= ( PA i ∑ ( P B | A ) , 1
)
(
+
(
+
( PA B ) PA B ) PA B ) j= 1 j i ( PA 2 |B ( PB 2 | A P A 1 ) ( PB 2 | A 2 ) ( A 2 )
) (
P
2
11
12
1
13
)
)
2
2
+
)
+ ( PA B ) PA B + ( 22 ) ( PA B ) (34) m ('1') A ( PA 2 |B B 3 ('1') ( PA 1 |B = ( PB 2 ) , (PA 2 |B = ( PB 2 ) , (49)
2 1
23
3
2
=
) (
P
+
P
= [( A 1 ) P A 2 )] [(PB 1 ) PB + + ( 2 ) ( PB 3 )] 1 1 1 ∑ ( PB j | A i ) 1 , (40) ( PA ( PB 3 ) ( PB 3 | A P A 1 ) ( |B = ( PB 3 | A 2 ) ( A 2 )
⋅
(
=
=
)
1
)
2
)
j= 1 ( PA 1 |B = ( PB ) , PA 2 3 ( PB 3 )
3
Öte yandan, Kaynak-1, cinsiyet, ağırlık ve boy değerleri m (b) 3
=
birbirleriyle ilintili olduğu için, iki ya da daha çok bağımsız ∑ ( PB j ) 1 , (41) iletişim sisteminin Şekil 1b’deki alıcı olasılık modeli elde
kaynakla modellenemez. j= 1 edilebilir. Bu modelde, (45)–(46) bağıntılarının yanı sıra,
Şekil 1. Gürültülü iletişim kanalından bilgi ileten bir iletişim sisteminin
(a) verici olasılık modeli, (b) alıcı olasılık modeli.
136 Sayı 06 Mayıs-Ağustos 2011 http://www.bilgem.tubitak.gov.tr/ 137
·