Page 111 - bilgem-teknoloji-dergisi-4

C. Nezih GEÇKİNLİ Eşitlik Karakterinin Matematiksel İşlevleri

cos(x + ) y === cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) , (39) 5 FONKSİYON TANIMLAMADA EŞİTLİK ⎧ 1, | | 1
−
x
y
y
x
x ≤
ÖRNEKLERİ fx (57)
() := ⎨
p
sin(x + ) y = = = sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) , (40) ⎩ 0, | | 0
y +
x >
x
y
x
x
a) Türev: Bir f ( ) fonksiyonunun x ’e göre türevi, o
cos( ) x + i sin( ) x = = = exp(i x ) (41) dikdörtgen darbe fonksiyonunun Fourier dönüşümü [9]
fonksiyondan türetilen 1
π
özdeşlikleri verilebilir [7]. Son özdeşlik, Euler tarafından d ( f x +Δ − f ( ) Fy [ f ( )] = F x sin(2 y ) ; (58)
x
) x
() :=
′
() :
( ) :
lim
u
1748’de tanıtılan ünlü Euler özdeşliğidir. Bu özdeşlikten; fx = dx f x = Δ→ 0 Δ x (49) p p π y f (x)
x
() ’nin ters Fourier dönüşümü de dikdörtgen darbe
• özdeşliğin iki yanının logaritması alınarak, Euler’den 34 fonksiyonu olarak tanımlanır [7]. f x , ( )f x eğrisine x ’te Fy
′
( )
p
yıl önce Cotes tarafından yayımlanan çizilen teğetin eğimini, yani, ( ) x ’in x ’teki değişim hızını fonksiyonu f p ()’dir. y 0
x
f
ln(cos( ) x + i sin( )) = x = = i x (42) verir. Örneğin,
e) Fourier Serisi Açılımı: Periyodu T olan, yani
özdeşliği; d sin( ) = cos( ) (50) ( f xT+ ) = = = f ( ) x (59)
x
x
dx
• (37) özdeşliği kullanılarak, b > 0 için -1
( )
′
( )
b) Belirsiz İntegral: Bir f x fonksiyonunun belirsiz özdeşliğini sağlayan periyodik bir f x fonksiyonunun
b ix == = exp(i x ln( )) (43) integrali, türevi f x olan f ( ) fonksiyonu ile x ’e göre Fourier serisi açılımı, frekans değerleri 1/ T (ana frekans) ve -1 0 x 1 2
b
′
( )
x
x
=== cos( ln( )) i+ sin( ln( )) türevi sıfır olan C değişmezinin toplamıdır [7]: 1/ T ’nin katları (harmonikleri) olan kosinüs ve sinüs
b
x
b
fonksiyonlarının toplamıdır [9]:
özdeşlikleri; ⎛ d ⎞
∫ f ′ ()xdx := ⎜ ⎝ dx f ( ) dx := f ( ) C , ∞ ⎛ 2 kx ⎞ π ∞ ⎛ 2 kx ⎞ π Şekil 5. Simetrik üçgen dalgaya ilişkin Fourier serisinin
⎟ ∫
x
x +
⎠
0 ∑
() ===
• x yerine π /2 konularak, önce (51) fx a + a k cos ⎜ ⎟ + b k sin ⎜ ∑ ⎟ , (60) ilk sekiz teriminin toplamı.
d C === 0. k= 1 ⎝ T ⎠ k= 1 ⎝ T ⎠
i = exp(i π / 2) = e i π /2 , (44) dx 1 T özdeşliğidir.
a 0 := ∫ f ( ) x dx ,
sonra, iki yanın i ’inci üssü alınarak şu ilginç değer Bir başka deyişle, belirsiz integral, türev işlevinin tersidir. T 0 6 EŞİTLİĞİ SINIFLANDIRMANIN
Örneğin, T
i = i e − π /2 = 0,207879... ≈ 0,20788 (45) a := 2 ∫ f x ⎛ ⎜ 2 kx ⎞ π ⎟ dx , k = 1,2,3,... , (61) EĞİTBİLİMSEL ÖNEMİ
( ) cos
∫ cos( )dx = x sin( ) C , k T ⎝ T ⎠
x +
ve son olarak da, (52) 0 Buraya kadar genel açıklamalarla sürdürülen tartışma
d C === 0. 2 T ⎛ 2 kx ⎞ π konusu yazarın duyumsadığı kişisel rahatsızlıklardan
( ) sin
• x yerine π konularak, klasik matematiğin dört önemli dx b k := T ∫ f x ⎜ ⎝ T ⎠ ⎟ dx , k = 1,2,3,... kaynaklanmaktadır. Bu rahatsızlıkların Mathematica’dan çok
alanını (analiz, cebir, geometri, aritmetik konularını) ′ 0 önceki yıllarda yaşanmış olması ve Mathematica’nın bu
c) Belirli İntegral: Bir f x fonksiyonunun [, ]a x
( )
π
ei
temsil eden beş katsayı (, , ,1, 0) ) arasında aralığındaki belirli integrali, türevi f ′ ( ) x olan f ( ) Örneğin, genliği 1, periyodu 1 olan ve rahatsızlıkları doğrulaması, konunun kişiselleştirilmesini
x
matematiğin üç önemli işlemi (üs alma, çarpma, toplama) fonksiyonunun ( ) a kadar eksiğidir [7]: − ⎧ 4x + 1, 0 ≤ x < 1/ 2 , kaçınılmaz kılmaktadır.
f
ile oluşan şu düşündürücü, matematikçilerce çok sanatsal fx 4x − 3 , 1/ 2 ≤ x < 1, (62)
() := ⎨
u
bulunan eşitlik elde edilmektedir [3]: x x ⎛ d ⎞ ⎩ Eşitlik yerine değişik simgeler kullanmanın, matematik
⎟ ∫
( +
t
g () := x ∫ f ′ ( ) dt := ⎜ f ( ) dt := f () − x f () , fx 1) === f u ( ) , makalesi okuyan bir matematikçi için gereksiz olacağı
t
a
x
u
10
e i π += (46) a a ⎝ dt ⎠ (53) düşünülse de, matematiği yeni öğrenenler için eğitbilimsel
′
() ===
x
gx f ′ () olarak tanımlanan simetrik üçgen dalga fonksiyonu
Eşitlik karakterinin matematikteki işlevleri, yukarıda açıdan yararlı olacağı açıktır. Örneğin ben, denklem ile
∞
tartışılan dört işlevle sınırlı değildir. Örneğin, güçlüğü Örneğin, f u () x === 8 2 ∑ 1 2 cos ( 1) xπ )2(2n − (63) özdeşliğin ayrı kavramlar olduğunu ilk kez lise son sınıfta
nedeniyle olsa gerek, Mathematica’nın kapsam dışı bıraktığı, x π n= 1 (2n − 1) duyumsamış; kendi başıma çözemediğim bu ayrımı,
x
x
yalnızca tam sayı çözümleriyle ilgilenilen Diophantine g () : = ∫ cos( ) dt = t sin() (54) Fourier serisi açılımına sahiptir. Şekil 5’te, bu serinin ilk 8 arkadaşlarıma belli etmeden, ders aralığında, matematik
denklemlerini de değişik bir denklik işaretiyle (‘ = += ’) 0 teriminin toplamı görülmektedir. öğretmenimize sormuştum. Öğretmenimizin yanıtlayışını,
göstermek gerekir. Nitekim, d) Fourier Dönüşümü: Bir ( ) x fonksiyonunun Fourier () çok dikkatli izleyip defalarca gözümde canlandırdığım için
f
n
x
x
olsa gerek, hâlâ dünmüş gibi anımsarım. Yine de, bir
x y == 6 (47) dönüşümü, başka bir değişkene bağlı bir fonksiyondur [9]: f) Taylor (Maclaurin) Serisi Açılımı: f () , f ( ) ’in
n ’inci türevini göstersin. Analitik (bütün türevleri olan) bir denklemi çözerken yapılan açılımların, çarpanlara
∞ f () x fonksiyonunun kuvvet serisine açılımı (özdeşi), ayırmaların, birbirine özdeş fx f ( ) === 0 ve
()−
x
denkleminin çözümleri, sonsuz sayıdaki (,6 / )x x koordinat F () : F [ ()] : = ∫ fx − i π ) (55)
=
() exp( 2 yx dx
y
fx
() / () ===
değerlerinden oluşan bir eğri iken (Şekil 1), −∞ f ′ (0) f ′ ′ (0) f ′ ′ ′ (0) fx fx 1 özdeşliklerini kullanarak terimleri
2
f () x === f (0) + x + x + x 3 götürmenin, aslında, eşitini yerine koyma işlemleri değil,
x y =+ = 6 (48) f () x fonksiyonu, Fy Fourier dönüşümünden, Fourier 1! 2! 3! (64) özdeşini yerine koyma olduğunun bilincine yeni yeni
()
dönüşümüne çok benzeyen ters Fourier dönüşümüyle elde f (IV) (0) 4
Diophantine denkleminin çözümleri, bu eğrinin üzerindeki + 4! x + varıyorum. Eskiden, yüksek matematik (calculus)
−−
−−
−−
−−
(6, 1) , (3, 2) , (2, 3) , (1, 6) , (1,6) , (2,3), (3,2), (6,1) edilebilir [9]: kitaplarında adı pek anılmadığı için olsa gerek (örneğin,
2
noktalarıdır. ∞ olarak yazılabilir [7]. Örneğin, 1/ (1 x+ ) ’nin Taylor serisine Türkiye Bilimler Akademisi’nin bu konuda yayımladığı
π
)
y
y
i
x
f ( ) : F − 1 [ ()] : = ∫ F () exp( 2 xy dy (56) açılımı, 1−< x < 1 aralığında geçerli olan, kitabın [7] dizininde özdeşlikle ilgili, yalnızca “Green
F
=
−∞ özdeşlikleri” ve “Trigonometrik özdeşlikler” öğeleri
1 2 3
−
Örneğin, 2 === 12x + 3x − 4x + , − 1 < x < 1 (65) bulunmakta), çok az sayıda olduğunu sandığım
+
(1 x )
özdeşliklerin, şimdi, eşitliklerin önemli bir bölümünü
108 Sayı 03 Mayıs-Ağustos 2010 http://www.uekae.tubitak.gov.tr/ 109
·