Page 108 - bilgem-teknoloji-dergisi-4

C. Nezih GEÇKİNLİ Eşitlik Karakterinin Matematiksel İşlevleri

hep birer özdeşliktir.
y 5
y Örneğin, x = 1’de 0/0 belirsizliğine sahip
1 4 x − 1
3
() :=
fx , (29)
ah
2
h A (, ) 3 f (x) f (x):4= + − x + 2 6x − 5 x − 1
a
( )
(, ) := −==
f (x) gx y 0 y 2 0 fonksiyonunu göz önüne alalım. f x ’in özdeşi yazılarak,
1
0
1
2 belirsizliğe neden olan x − çarpanları ayrıştırılabilir:
θ gx y 3 2
(, ) :=
x 1 fx x − 1 === (x − 1)(x + x + 1) , (30)
() :=
-1 O a 1 1 y + x −= 0 x − 1 (x − 1)(x + 1)
2
1 =
2
y 0 x ≠ 1 ise, bu iki çarpan birbirini götüreceğinden,
O
f (x):4= − − x + 2 6x − 5 x − 1 3
3
b
-1 lim 1 x − = 2 (31)
2
f (x) x→ 1
-1 2 gx y = 4) + 2 (x − 3) − 2 4 = = 0
(, ) : (y −
c
−
(, ) :=
-2 gx y y x + 2 4x − 3 = = 0 bulunur.
2
x
O Euler, doğal üstel fonksiyon ve doğal logaritmanın limitle
Şekil 2. Birim çember. -3 ifade edilen, birbirinden bağımsız özdeşlerini de
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
vermektedir [3]:
xy
A (, ) == 6 (11) x n
lim
x
denklemini, yani Şekil 3. Eğrilerin gösterilimi. Şekil 4. Çemberin denklem ve fonksiyonlar aracılığıyla gösterilimi. exp( ) n→∞ ( === + / )1 x n , (32)
x
x y == 6 (12) ln( ) === lim ( n x 1/ n − ) 1 (33)
tanımlayabilmek için birden fazla fonksiyon kullanmak Trigonometride de denklemler kullanılır. Örneğin, n→∞
denklemini çözen, sonsuz sayıdaki kaçınılmaz olabilir. Örneğin, Şekil 4’ten de görülebileceği b ve c değişkenleri
x +
x
(,6 / ) (13) gibi, cos( ) sin( ) = x = 1 (23) b == exp( ) (34)
x
c
(, ) : (y −
noktalarının xy dik koordinat sisteminde oluşturduğu gx y = 4) + 2 (x − 3) − 2 4 = = 0 (17) denkleminin 0 ≤ x ≤ 2π aralığındaki temel çözümleri denklemini sağlıyor olsun. İki yanın doğal logaritması alınıp
c
eğridir. Bu eğri, geometrik olarak (2) ile tanımlanan yüzey denklemiyle tanımlanan bir çemberin üst ve alt yarıları, her x = 0 (24) doğal logaritmanın (7) ile verilen tanımı kullanıldığında,
1
ile, Oxy düzlemine paralel ve bu düzleme uzaklığı 6 olan x değerine tek bir değer karşı düşüren ve
fx y = (14) fx = − x + 2 6x − 5 , π ln( ) == b ln(exp( )) = c c (35)
(, ) : 6
d
() : 4 +
a
2
düzleminin kesişme yeri olup, Şekil 1’de yüzeylerin arakesiti fx = − x + 2 6x − 5 , (18) x = 2 (25) denklemi bulunur. Bu iki denklemden, doğal üstel
fonksiyonun, doğal logaritma fonksiyonunun tersi olduğunu
() : 4 −
olarak gösterilmektedir. b 1
1 ≤ x ≤ 5 , radyandır . gösteren şu özdeşlik yazılabilir:
Eğriler, fonksiyonlar ile, açık (explicit) olarak b === exp(ln( )) (36)
b
tanımlanabildiği gibi, denklemler aracılığıyla, kapalı fonksiyonları ile ayrı ayrı tanımlanmak zorundadır. 4 ÖZDEŞLİKLER VE DİĞERLERİ
(implicit) olarak da ifade edilebilir [7]. Örneğin, Şekil 3’te Denklemlerin transandantal fonksiyonlarla birlikte Bağımsız değişkenlerin her değeri için sağlanan (sol yanı Bu özdeşliğin x ’inci kuvveti alındığında da
görülen eğriler, fonksiyon olarak kullanımına örnek olarak, sağ yanına denk olan) eşitliklere özdeşlik (identity) denir. b === ⎡ x ( exp )ln( ) b ⎤ x ( == = ln( ) b ) e x == = e x ln( ) b (37)
fx = ln( ) == 0 (19) Binom açılımı: ⎣ ⎦
() : 2 ,
x
0
x 3 3 2 2 3 özdeşliği elde edilir.
() :=− +
fx 2 1 , (15) denklemini göz önüne alalım. Bu denklemin çözümü, (6) ve (x − ) y = = = x − 3x y + 3xy − y , (26)
1
İki bilinmeyenli (35) denklemi (34) denkleminden, iki
fx = () : x − 2 4x + 3 , (7) tanım bağıntıları aracılığıyla çarpanlarına ayrılmış polinom: yanın doğal logaritması alınarak elde edildiği için,
2
x = exp(0) = e = 0 1 (20) x − 3 y = 3 = = (x − y )(x + 2 xy + y 2 ) , (27)
biçiminde ya da denklemler aracılığıyla 0 bilinmeyenler üzerine yeni bir bilgi taşımaz; yani, iki
(, ) :=− ==
gx y y 2 0 , olarak yazılabilir. Benzer biçimde, seri açılımı: denklem birbirine özdeştir. Dolayısıyla, (35) denklemindeki
0
c, (34) denkleminde yerine konulduğunda, b bilinmeyeninin
x
x ln( ) == 1 (21) 1
gx y y − 1 == 0 , (16) === 1 x + x + x + ... , − 1 < x < 1, (28) çözümü yerine, b bağımsız değişkenini içeren (36) özdeşliği,
(, ) :=+
2
3
+
1
2 denkleminin çözümü de 1 x bir başka deyişle, iki taraf birbirini götürdüğü için, 0 ==
−
0
2
3
(, ) :=−
gx y y x + 4x −== 0 , denkliği elde edilmektedir.
2
x = exp(1) = e = 1 e (22)
1
eşitlikleriyle gösterilebilir. Ancak, denklemler ile ifade Trigonometride de birçok özdeşlik vardır. Bunlara örnek
Trigonometride açıların değeri “derece”den çok, “radyan”
1
edilen kimi eğrileri fonksiyonlar aracılığıyla olarak bulunur. cinsinden ölçülür. Bu da, birim çemberde x açısının gördüğü yayın olarak
uzunluğuna denktir. Bu durumda 360°’lik tam açının değeri, 2π 2 2
+
x
x
radyan olmaktadır. cos ( ) sin ( ) === 1, (38)
106 Sayı 03 Mayıs-Ağustos 2010 http://www.uekae.tubitak.gov.tr/ 107
·