Page 107 - bilgem-teknoloji-dergisi-4

C. Nezih GEÇKİNLİ Eşitlik Karakterinin Matematiksel İşlevleri

Eşitlik Karakterinin Matematiksel İşlevleri ölçtüğümüzde, enini 2 cm, boyunu 3 cm bulmuş olalım. Bu sayısını göz önüne alalım. Bu sayının tanımı
Euler’in tanıttığı ve çalışmalarında sıkça kullandığı e
sonuçları
x = 2, lim + n = 2,718281... ≈ 2,71828 (5)
C. Nezih GEÇKİNLİ 1 (1) n→∞ (: e = )1 1/ n
y = 3
1
limiti ile verilebilir. Bu limit ifadesi hesaplandığında, (5)
olarak gösterelim. Yani, levhamızın eni x ’e 2, boyu y ’e 3 bağıntısındaki ikinci eşitlikle verilen irrasyonel sayı elde
1
1
x
Özet - Çoğu matematiksel bağıntının eylemi olan eşitlik (‘ = ’) karakteri, μ () (Möbius); sayılarını atayalım.
temel olarak, “atama veya hesaplama”, “tanımlama”, “denklem kurma” ve edilir. Bu değerin virgülden sonra 5 anlamlı basamağa
n
“özdeşini yazma” olarak adlandırabileceğimiz dört değişik işlevi gösterir. ζ () (Riemann Zeta) Dikdörtgen levhanın alanını, levhanın eni ile boyunun yuvarlatılmasıyla elde edilen yaklaşık değer de (5)
Dolayısıyla, karşılaşılan bağıntıların doğru algılanabilmesi için, bu çarpımı olarak tanımlayalım ve bunu x ve y bağımsız bağıntısında, en sağda görülmektedir.
ayrımın doğru yapılabilmesi gerekir. Öte yandan, birbirinden ayrı dört gibi fonksiyonlar; hatta, belirli bir yazıya ya da kitaba özgü değişkenlerinin fonksiyonu olarak, Şekil 1’deki gibi
kavramın hep aynı biçimde gösteriliyor olması, özellikle matematikçi pek çok işaret [4] kullanılmaktadır. (Levhamızın kenarlarını ölçtüğümüzde bulduğumuz 2 cm
olmayanların algılama yeteneğini zayıflatabilir. Bu nedenle, okuyucu bu A (, ) : x y (2) ve 3 cm değerleri tam olamaz; çünkü, bir ölçümü ne kadar
xy
=
konuda uyarılmakta; okuyucunun algılama kaybı olup olmadığını Matematikteki çoğu cümlenin eylemi olan eşitlik (‘ = ’) doğru yapmaya çalışırsak çalışalım, ancak elimizdeki aletin
sınaması, varsa bunu yeniden kazanabilmesi için, sınıflandırılan ve karakteri ise, kullanıldığı yere göre değişik anlamlara biçiminde gösterelim. Böylece, levhamızın alanı A ’e 6
Mathematica programlama dilinde kullanılan dört karakter grubu (‘ = ’, gelmektedir: sayısını atamış oluruz: 1 duyarlığı ölçüsünde hatasız yapabiliriz. Ölçüm
‘:= ’, ‘ == ’, ‘ === ’) ile gösterilen örnek bağıntılar verilmektedir. sonuçlarımızın rasgele hatalı olması kaçınılmazdır [8]. Yine
1°) “... değerini taşır; ... değerine eşittir”; A = A (, ) = x y A (2,3) = 2 3 = ⋅ 6 (3) de (1) bağıntısında, x ’e ve y ’e 2 ve 3 değerlerini atarken,
Anahtar Sözcükler - Eşitlik, denklem, özdeşlik, matematik eğitimi. 1 1 1 1 1
2°) “... olarak tanımlanır; ... olarak tanımlansın”; yaklaşık değer karakteri yerine eşitlik (‘ = ’) karakterini
1 GİRİŞ kullandık. Öte yandan, eğer atanan değer, virgülden sonra
3°) “... değişkenlerin bazı değerleri için eşittir”; gösterilemeyecek kadar çok ya da sonsuz sayıda basamağı
Matematik size Çince gibi mi geliyor? Çok haklısınız! 4°) “... değişkenlerin tüm değerleri için eşittir; özdeştir”. olan bir sayı ise, gösterilemeyen hanelerin varlığı, (5)
Çünkü matematikte de A (, ) : x y bağıntısında olduğu gibi ya üç nokta ile belirtilir ya da
=
x
y
Bu nedenle, nasıl ki Çinceyi kolayca okuyup doğru
(tam sayılar kümesi), sayının yuvarlatılmış bir karşılığı yaklaşık değer işareti (‘ ≈ ’)
anlayabilmek için uzun yıllar Çince eğitim görmüş birisi ile atanır.)
∈ (kümenin elemanı), olmak gerekirse, matematiği kolayca ve doğru anlayabilmek
için de uzun yıllar eğitim görmüş bir matematikçi olmak Bu e sayısını kullanan doğal üstel fonksiyon “exp” ve ters
∞ (sonsuz), fx y =
(, ) : 6
gerekir. d fonksiyonu olan ( e ’nin kuvvetini bulan) doğal logaritma
π (çember uzunluğunun çapa oranı [1]), fonksiyonu “ln” (log olarak da gösterilip “ e tabanına göre
Matematik işlemlerini hem sayısal hem de simgesel A (2,3) = 6 e
i ( 1− ’in karekökü, − , [2]), olarak yapabilen ve sayı kuramı konusunda çalışan logaritma” diye okunan fonksiyon) şöyle tanımlanmaktadır:
1
x
=
n
e (( + )11/ n ’nin n sonsuza varırken aldığı değer [3]) matematikçilerin de değer verdiği bilgisayar program- exp( ) : e x , (6)
larından olan Mathematica’da [5]-[6], eşitlik karakterindeki
x
gibi anlam yüklü karakterler; belirsizliği giderebilmek için, kullanıcının niyetini anlayacak ln(exp( )) : x= (7)
! n (n tam sayısından büyük olmayan pozitif tam sayıların yapay zekâ (artificial intelligence) programları yerine, yukarıda : y = 6 x (z = 6) Yarıçapı 1 birim olan çember üzerindeki A noktasıyla
çarpımı), sıralanan anlamlara karşılık gelen ‘ = ’, ‘:= ’, ‘ = = ’, ‘ === ’ çemberin merkezi O ’yu birleştiren doğrunun, çemberin
karakter gruplarından birisi kullanılır. Bu yazıda da, merkezinden geçen yatay eksenle saat yönünün tersinde
π () ( x ’den büyük olmayan pozitif asal sayıların sayısı),
x
Mathematica’nın önerdiği karakter grupları kullanılarak, yaptığı açı θ olsun. Şekil 2’de görülen bu açının sinüsü,
gibi karakter grupları; eşitlik karakterinin matematikteki dört değişik anlamı kosinüsü ve tanjantı, A noktasının düşey ve yatay
h
A
örneklerle tartışılmaktadır. koordinatları () A ve a () aracılığıyla aşağıdaki gibi
≈ (yaklaşık olarak eşit),
Mathematica dayanak alındığında, eşitlik karakterinin tanımlanır:
∼ (asimptotik olarak eşit)
yukarıda verilen dört anlamına karşı düşen eylemler şöyle Şekil 1. İki değişkenli fonksiyonlar ve arakesitleri. sin( ) : h Aθ = ( ) (8)
a
(| ) p (Legendre) adlandırılabilir: cos( ) : a ( ) , (9)
=
θ
A
Fonksiyon tanımlamanın yanı sıra, fonksiyonlar üzerine
gibi simgeler (semboller); 1°) Atama veya hesaplama (‘ = ’),
θ
tanımlanmış işlemler ve fonksiyonlar da bulunmaktadır. sin( ) h ( )
A
+ (sayılar için toplama), 2°) Tanımlama (‘:= ’), Örneğin, bir f x fonksiyonunun x = ’da 0/0 , ∞ ∞ , tan( ) := θ cos( ) θ = a ( ) A (10)
a
( )
/
∞
0
0
Σ (sayı serileri için toplama), 3°) Denklem kurma (‘ == ’), 0 ⋅∞ , ∞− ∞ , 0, ∞ , 1 türü bir belirsizliği varsa ve bu
fonksiyon; x a’ya, a’dan daha küçük ya da a’dan daha büyük 3 DENKLEMLER
∪ (kümeler için toplama, bileşim), 4°) Özdeşini yazma (‘ == = ’). değerle başlayıp yaklaşırken aynı değere ulaşıyorsa, bu İlk örneğimizdeki dikdörtgen levhaya geri dönelim. Her
a
gibi işlemler; değer o fonksiyonun x = ’daki limit değeri olarak dikdörtgen levha için tek bir alan değeri söz konusu iken,
2 DEĞER ATAMA, HESAPLAMA, TANIMLAMA tanımlanır [7]:
cos( ) (kosinüs) alan değeri aynı olan dikdörtgen levhaların sayısı sonsuzdur.
x
Dikdörtgen bir levhamız olsun. Bu levhanın enine x , lim ( ) := {( )f x fonksiyonunun , Alanı aynı, örneğin 6 olan dikdörtgen levhaların en ve
fx
1
Γ () (gamma), boyuna y diyelim. Levhamızın kenarlarını bir cetvelle x→ a x ' a ya yaklaşırken ulaştığı değer } (4) boylarının geometrik yeri
s
1
104 Sayı 03 Mayıs-Ağustos 2010 http://www.uekae.tubitak.gov.tr/ 105
·